Конспект урока: Теорема о медиане треугольника

• Теорема о медиане треугольника
• Следствие о диагоналях параллелограмма
• Примеры

• Знать формулу нахождения длины медианы треугольника;
• Знать формулу связи длин диагоналей и сторон параллелограмма;
• Уметь применять указанные формулы при решении задач.

• Что называют медианой треугольника?
• Какими свойствами обладает медиана треугольника?
• Диагонали какого четырехугольника точкой пересечения делятся пополам?

Теорема о медиане треугольника

Из курса планиметрии известно, что по известным трём элементам треугольника можно найти другие его элементы. Вспомним некоторые определения и теоремы.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Для доказательства следующей теоремы понадобится теорема косинусов (рис. 1):

$a^{2} = b^{2} + c^{2} — 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A$.

Длину медианы любого треугольника можно найти, зная длины его сторон.

Теорема

Квадрат медианы $A M$ треугольника $A B C$ выражается формулой

$A M^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} — \frac{B C^{2}}{4}$.

Рассмотрим треугольник $A B C$, где $A M$ — медиана (рис. 2).

Длину этой медианы можно найти по теореме косинусов в треугольнике $A C M$, тогда

$A M^{2} = A C^{2} + M C^{2} — 2 \cdot A C \cdot M C \cdot \cos C$.

Используя теорему косинусов для треугольника $A B C ,$ выразим косинус угла $C$:

$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2} — 2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos C$,

тогда

$\cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} — A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C}$.

Так как $A M$ — медиана треугольника, то $M C = M B = \frac{1}{2} B C .$ Подставим полученные соотношения в выражения для $A M$:

$A M^{2} = A C^{2} + \left(\frac{B C}{2}\right)^{2} — 2 \cdot A C \cdot \frac{B C}{2} \cdot \frac{A C^{2} + B C^{2} — A B^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} =$
$= \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A C^{2}}{2} — \frac{B C^{2}}{4}$.

Теорема доказана.

Пример 1

В прямоугольном треугольнике $A B C$ $\angle C = 90^{\circ}$, $A C = 4$, $B C = 6$. Найти длину медианы $A M$.

Решение

Сначала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора:

$A B = \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} = \sqrt{4^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{13}$.

Воспользуемся теоремой о медиане треугольника:

$A M^{2} = \frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} — \frac{B C^{2}}{4}$.

т.е.

$A M = \sqrt{\frac{A C^{2}}{2} + \frac{A B^{2}}{2} — \frac{B C^{2}}{4} =} = \sqrt{\frac{4^{2}}{2} + \frac{\left(2 \sqrt{13}\right)^{2}}{2} — \frac{6^{2}}{4}} = 5 .$

Ответ: $5$.

Упражнение 1

1. Стороны треугольника равны $4,6 , 8 .$ Найдите длину медианы, проведённую к меньшей стороне.

2. Найди длину основания равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна $2 ,$ а медиана, проведённая к боковой стороне, равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Следствие о диагоналях параллелограмма

Доказанная выше теорема имеет следствие. Но сначала вспомним, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Следствие

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Рассмотрим параллелограмм $A B C D$ (рис. 4).

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то $A O = \frac{1}{2} A C$ — медиана треугольника $A B D$. Тогда, используя, предыдущую теорему, получаем

$A O^{2} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} — \frac{B D^{2}}{4}$,

или

$\frac{A C^{2}}{4} = \frac{A B^{2}}{2} + \frac{A D^{2}}{2} — \frac{B D^{2}}{4}$.

Умножим обе части выражения на 4 и перенесём квадрат диагонали $B D$ в левую часть. Получили

$A C^{2} + B D^{2} = 2 A B^{2} + 2 A D^{2}$.

Значит, $A C^{2} + B D^{2} = A B^{2} + C D^{2} + A D^{2} + B C^{2}$.

Следствие доказано.

Пример 2

Диагонали ромба равны 5 и 12. Найти длину стороны ромба.

Решение

Ромб – это параллелограмм, стороны которого равны. Значит, сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на $4$.

Пусть сторона равна $a$, а диагонали равны $d_{1}$ и $d_{2}$. Тогда

$d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$.

или

$a = \frac{\sqrt{d_{1}^{2} + d_{2}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$.

Ответ: $6,5 .$

Упражнение 2

Стороны параллелограмма равны $4$ и $5 ,$ а одна из его диагоналей равна $7 .$ Найти длину другой диагонали параллелограмма.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему о медиане треугольника.

2. Может ли быть медиана больше каждой из сторон треугольника? Почему?

Упражнение 1

1. $\sqrt{46}$;

2. $1 .$

Упражнение 2

$\sqrt{33}$.

Источник: https://onlineschool-1.ru/encyclopedia/11-klass/geometriya/teorema-o-mediane-treugolnika/article/